证明：形如 4 n-1的整数不能写成两个平方数的和

题目

证明：形如 4 n-1的整数不能写成两个平方数的和

答案

假设形如 4 n-1的整数能写成两个平方数的和
若这两个数均为偶数或均为奇数,则两个数的平方数的和必为偶数,这与题干4 n-1为奇数矛盾.
而若这两个数为一奇一偶,不仿将其设为2a-1,2b
那么两个平方数的和可写为(2a-1)^2+(2b)^2=4(a^2+b^2-a)+1=4k+1,这与题中的4 n-1不合.
终上,形如 4 n-1的整数不能写成两个平方数的和