求函数y=x2+9+x2−8x+41的最小值．

题目

求函数y=

x2+9

+

x2−8x+41

的最小值．

答案

因为y=

(x−0)2+(0−3)2

+

(x−4)2+(0−5)2

，
所以函数y是x轴上的点P（x，0）与两定点A（0，3）、B（4，5）距离之和．
y的最小值就是|PA|+|PB|的最小值．
由平面几何知识可知，若A关于x轴的对称点为A′（0，-3），
则|PA|+|PB|的最小值等于|A′B|，
即

(4−0)2+(5+3)2

=4

5

．
所以y_min=4

5

．

把两个根式看做两个两点间的距离，利用对称知识解答即可．

本题考点：空间两点间的距离公式．

考点点评：本题考查两点间的交流公式，对称知识，是中档题．