设函数f（x）=xekx（k≠0）． （Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （Ⅱ）求函数f（x）的单调区间； （Ⅲ）若函数f（x）在区间（-1，1）内单调递增，求k的取值范围．

题目

设函数f（x）=xe^kx（k≠0）．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若函数f（x）在区间（-1，1）内单调递增，求k的取值范围．

答案

（Ⅰ）f′（x）=（1+kx）e^kx，f′（0）=1，f（0）=0，
曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x；
（Ⅱ）由f′（x）=（1+kx）e^kx=0，得x=-

1

k

（k≠0），
若k＞0，则当x∈（-∞，-

1

k

）时，
f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当x∈（-

1

k

，+∞，）时，f′（x）＞0，
函数f（x）单调递增，
若k＜0，则当x∈（-∞，-

1

k

）时，
f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
当x∈（-

1

k

，+∞，）时，
f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若k＞0，则当且仅当-

1

k

≤-1，
即k≤1时，函数f（x）（-1，1）内单调递增，
若k＜0，则当且仅当-

1

k

≥1，
即k≥-1时，函数f（x）（-1，1）内单调递增，
综上可知，函数f（x）（-1，1）内单调递增时，
k的取值范围是[-1，0）∪（0，1]．