已知直线y=kx与曲线y=lnx有交点，则k的最大值是（　　） A.e B.-e C.1e D.−1e

题目

已知直线y=kx与曲线y=lnx有交点，则k的最大值是（　　）
A. e
B. -e
C.

1

e

D. −

1

e

答案

由题意，令kx=lnx，则k=

lnx

x

，
记f（x）=

lnx

x

，
∴f'（x）=

1−lnx

x2

．f'（x）在（0，e）上为正，在（e，+∞）上为负，
可以得到f（x）的取值范围为（-∞，

1

e

]这也就是k的取值范围，
∴k的最大值为：

1

e

．
故选：C．

要使直线y=kx与曲线y=lnx有公共点，只需kx=lnx有解，再利用分离参数法通过函数的导数求解即可．

本题考点：对数函数的图像与性质．

考点点评：本题将曲线的交点问题转化为方程根问题，进一步利用导数求解，属于中档题