用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点．

题目

用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点．

答案

证明：取△ABC最长一边BC所在的直线为X轴，经过A的高线为Y轴，设A、B、C的坐标分别为A（0，a）、B（b，0）、C（c，0），根据所选坐标系，如图，有a＞0，b＜0，c＞0，AB的方程为

x

b

+

y

a

＝1，其斜率为−

a

b

，AC的方程为

x

c

+

y

a

＝1，其斜率为−

a

c

，高线CE的方程为y＝

b

a

(x−c)(1)高线BD的方程为y＝

c

a

(x−b)(2)．

解（1）、（2），得：（b-c）x=0
∵b-c≠0∴x=0
即高线CE、BD的交点的横坐标为0，也即交点在高线AO上．
因此，三条高线交于一点．