如果函数y=|x|-1的图象与方程x2+λy2=1的曲线恰好有两个不同的公共点,则实数λ的取值范围是( ) A.(-∞,-1]∪[0,1) B.[-1,1) C.{-1,0} D.[-1,0)∪(1
题目
如果函数y=|x|-1的图象与方程x2+λy2=1的曲线恰好有两个不同的公共点,则实数λ的取值范围是( )
A. (-∞,-1]∪[0,1)
B. [-1,1)
C. {-1,0}
D. [-1,0)∪(1,+∞)
答案
由y=|x|-1可得,x≥0时,y=x-1;x<0时,y=-x-1,
∴函数y=|x|-1的图象与方程x
2+λy
2=1的曲线必相交于(±1,0)
所以为了使函数y=|x|-1的图象与方程x
2+λy
2=1的曲线恰好有两个不同的公共点,则
y=x-1代入方程x
2+λy
2=1,整理可得(1+λ)x
2-2λx+λ-1=0
当λ=-1时,x=1满足题意,
由于△>0,1是方程的根,∴
<0,即-1<λ<1时,方程两根异号,满足题意;
y=-x-1代入方程x
2+λy
2=1,整理可得(1+λ)x
2+2λx+λ-1=0
当λ=-1时,x=-1满足题意,
由于△>0,-1是方程的根,∴
<0,即-1<λ<1时,方程两根异号,满足题意;
综上知,实数λ的取值范围是[-1,1)
故选B.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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