已知数列{an}的前n项和为sn,a1=a,an+1=2sn+4的n平方

题目

已知数列{an}的前n项和为sn,a1=a,an+1=2sn+4的n平方

答案

已知数列an的前n项和为Sn,已知a1=a,a(n+1)=2Sn+4^n(N为正整数)
（1）设bn=Sn-4^n,求证：数列bn是等比数列
（2）若a＝1,求数列an的前n项和Sn
（3）若a(n+1)≥an,n为正整数,求实数a的取值范围
【解】
(1)
a1=a
a2=2S1+4^1=2a+4
a(n+1)=2S(n)+4^n
a(n)=2S(n-1)+4^(n-1),n>=2
a(n+1)-a(n)=2a(n)+3*4^(n-1)
a(n+1)=3a(n)+3*4^(n-1)
a(n+1)-3*4^n=3[a(n)-3*4^(n-1)]
{a(n)-3*4^(n-1)}是等比数列,首项a2-12=2a-8,公比3
a(n)-3*4^(n-1)=(2a-8)*3^(n-2)
a(n)=3*4^(n-1)+(2a-8)*3^(n-2)
n>=2
S(n)=a+3[4+4^2+4^3+...+4^(n-1)]+(2a-8)(1+3+3^2+3^3+...+3^(n-2)]
=a+[4^n-4]+(a-4)[3^(n-1)-1]
=4^n+(a-4)*3^(n-1)
当n=1,S(1)=a也适合
∴S(n)=4^n+(a-4)*3^(n-1)
b(n)=S(n)-4^n=(a-4)*3^(n-1)显然是等比数列
(2)
由(1)知
S(n)=4^n+(a-4)*3^(n-1)=4^n-3^n
(3)
a1=a
a2=2a+4
a2>=a1,2a+4>=a,a>=-4
n>=2
a(n)=3*4^(n-1)+(2a-8)*3^(n-2)
a(n+1)=3*4^n+(2a-8)*3^(n-1)
a(n+1)>=a(n)
3*4^n+(2a-8)*3^(n-1)>=3*4^(n-1)+(2a-8)*3^(n-2)
9*4^(n-1)+4(a-4)*3^(n-2)>=0
a-4>=-9*4^(n-2)/3^(n-2)=-9*(4/3)^(n-2)
-9*(4/3)^(n-2)是减函数,故只需满足
a-4>=-9(4/3)^(2-2)=-9,a>=-5
∴a>=-4