求极限：lim(x->0)(2x*cos2x-sin2x)/2x^3,

题目

求极限：lim(x->0)(2x*cos2x-sin2x)/2x^3,
我是这样考虑的：
分母,分子同时除以2x
=>lim(x->0)（cos2x-sin2x/2x）/x^2,
'.' lim(x->0)sin2x/2x=1
.'.上式 =lim(x->0)(cox2x-1)/x^2
=>lim(x->0)(1/2)*4x^2/x^2=2
我想问一下这样做哪里错了?还有什么时候可以用无穷小因子替换,或者可以直接用两个重要极限代进去,书上说,在加减法中等价无穷小替换是有条件的,我想问一下在什么情况下加减法中能用无穷小因子替换?

答案

"在加减法中等价无穷小替换是有条件的"这个条件就是加减运算的两部分极限是存在的像上式中lim(x->0)（cos2x-sin2x/2x）/x^2,这一步时其实是计算 lim(x->0)（cos2x/x^2-sin2x/2x/x^2)如果cos2x/x^2部分和sin2x/2x/x^2...