如图,已知直线与抛物线y2=2px（p＞0）交于A,B两点,且OA⊥OB,OD⊥AB交AB于点D,点D的坐标为（2,1）,求p的值．

题目

如图,已知直线与抛物线y2=2px（p＞0）交于A,B两点,且OA⊥OB,OD⊥AB交AB于点D,点D的坐标为（2,1）,求p的值．

答案

设A（x1,y1)(x2,y2)
由于OD斜率为1/2,OD⊥AB
则AB斜率为-2,
故直线AB方程为2x+y-5=0……（1）
将（1）代入抛物线方程得
y^2+py-5p=0
则y1y2=-5p
因(y1)^2=2px1；(y2)^2=2px2
则(y1y2)^2=4(p^2)x1x2
故x1x2=25/4
因OA⊥OB
则x1x2+y1y2=0
p=5/4
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