△ABC中,若1/tanA,1/tanB,1/tanC成等差数列,求证：a²,b²,c²也成等差数列

题目

△ABC中,若1/tanA,1/tanB,1/tanC成等差数列,求证：a²,b²,c²也成等差数列

答案

1/tanA、1/tanB、1/tanC成等差数列,则
2/tanB=1/tanA+1/tanC
2cosB/sinB=cosA/sinA+cosC/sinC
由正弦定理、余弦定理得
[2(a²+c²-b²)/(2ac)]/b=[(b²+c²-a²)/(2bc)]/a +[(a²+b²-c²)/(2ab)]/c
整理,得
(a²+c²-b²)/(abc)=(b²+c²-a²)/(2abc)+(a²+b²-c²)/(2abc)
等式两边同乘以2abc
2(a²+c²-b²)=b²+c²-a²+a²+b²-c²
整理,得
2b²=a²+c²
b²-a²=c²-b²
a²、b²、c²成等差数列.
提示：本题其实就是正弦定理、余弦定理的应用.