如图，已知⊙O的半径为2，弦AB的长为23，点C与点D分别是劣弧AB与优弧ADB上的任一点（点C、D均不与A、B重合）． （1）求∠ACB； （2）求△ABD的最大面积．

题目

如图，已知⊙O的半径为2，弦AB的长为2

3

，点C与点D分别是劣弧AB与优弧ADB上的任一点（点C、D均不与A、B重合）．
（1）求∠ACB；
（2）求△ABD的最大面积．

答案

（1）连接OA、OB，作OE⊥AB于E，
∵OA=OB，∴AE=BE，
Rt△AOE中，OA=2，AE=

3

，
所以sin∠AOE=

3

2

，
∴∠AOE=60°，（2分）
∠AOB=2∠AOE=120°，
又∠ADB=

1

2

∠AOB，
∴∠ADB=60°，（3分）
又四边形ACBD为圆内接四边形，
∴∠ACB+∠ADB=180°，
从而有∠ACB=180°-∠ADB=120°；（5分）
（2）作DF⊥AB，垂足为F，则：S_△ABD=

1

2

×2

3

DF，（6分）
显然，当DF经过圆心O时，DF取最大值，
从而S_△ABD取得最大值，
此时DF=DO+OF=2+2sin30°=3，s_△ABD=

1

2

×6

3

，
即△ABD的最大面积是3

3

．         （7分）

（1）连接OA、OB，作OE⊥AB，E为垂足，要求∠ACB的度数，根据圆内接四边形的性质只需求得∠ADB的度数，
再根据圆周角定理只需求得圆心角∠AOB的度数，根据等腰三角形的三线合一，只需求得∠AOE的度数，
根据垂径定理求得AE的长，根据锐角三角函数即可由边之间的关系求得∠AOE的度数，进一步求得∠AOB的度数；
（2）要求△ABD的最大面积，由于AB是个定值，只需使AB边上的高最大，即点D是优弧AB的中点，即作DF⊥AB，当DF经过圆心O时，DF取最大值．根据半径和AB的弦心距即可求得．

本题考点：圆内接四边形的性质；垂径定理；圆周角定理；解直角三角形．

考点点评：（1）中，主要是能够把已知的线段构造到一个直角三角形中，也可以作直径AM，根据锐角三角函数的知识求得角的度数，再进一步根据圆周角定理和圆内接四边形的性质进行计算；
（2）中，能够分析出面积最大值时，点D的位置．