已知二次函数y=f1(x)的图像以原点为顶点,且过点(1,1),反比例函数y=f2(x)的图像与直线y=x的两个交点间距离为8,f(x)=f1(x)+f2(x)

题目

已知二次函数y=f1(x)的图像以原点为顶点,且过点(1,1),反比例函数y=f2(x)的图像与直线y=x的两个交点间距离为8,f(x)=f1(x)+f2(x)
1,求函数f(x)的表达式
2证明当a>3时,关于x的方程f(x)=f(a)有三个实数解

答案

1、f1(x)=ax^2,把（1,1）代入得a=1,所以f1(x)=x^2,f2(x)=k/x,与y=x联立得交点为
(根号k,根号k)或(-根号k,-根号k) 因为两个交点间距离为8,所以用两点间的距离公式得：根号下8k=8,所以8k=64,所以k=8 所以f2(x)=8/x,f(x)=x^2+ 8/x,
2、因为f(x)=f(a) 所以x^2+ 8/x=a^2+ 8/a,移项得(x^2-a^2)+(8/x-8/a)=0,(x+a)(x-a)+(8a-8x)/(ax)=0
提公因式得(x-a)(x+a-8/ax)=0,得x-a=0或x+a-8/ax=0,x+a-8/ax=0化为ax^2+a^2x-8=0,因为a>3
所以它的判别式=a^4+32a>0,所以x+a-8/ax=0有两个不相等的实数根,又因为x-a=0可得根x=a
所以关于x的方程f(x)=f(a)有三个实数解