抛物线y=x^2上异于坐标原点O的两个相异的动点A,B满足OA垂直OB,三角形AOB的面积是否存在最小值?若存在,求出最小值,不存在请说明理由.

题目

抛物线y=x^2上异于坐标原点O的两个相异的动点A,B满足OA垂直OB,三角形AOB的面积是否存在最小值?若存在,求出最小值,不存在请说明理由.

答案

不妨设A在y轴右边,OA斜率为k(k>0),A(k,k^2),
则B在y轴左边,OB斜率为-1/k,B(-1/k,1/k^2),
设C(k,0),D(-1/k,0),ABDC是直角梯形,
S(AOB)=S(ABDC)-S(AOC)-S(BOD)
=(k+1/k)(k^2+1/k^2)/2-k*k^2/2-(1/k)*(1/k^2)/2
=(k+1/k)/2
≥√(k*1/k)=1,
等号成立当且仅当k=1/k=1.
三角形AOB的面积存在最小值,当k=1时,A(1,1),B(-1,1),三角形AOB的面积最小,最小值等于1.