已知tanα,tanβ是方程x²+ax+a+1=0的两个实根,求证sin(α+β)=cos﹙α+β)

题目

已知tanα,tanβ是方程x²+ax+a+1=0的两个实根,求证sin(α+β)=cos﹙α+β)

答案

tanα,tanβ是方程x²+ax+a+1=0的两个实根,
根据韦达定理有：
tanα+tanβ=-a,
tanα*tanβ=a+1.
所以tan(α+β)=( tanα+tanβ)/(1- tanα*tanβ)
=-a/(1-(a+1))=1,
即sin(α+β)/cos﹙α+β)=1
∴sin(α+β)=cos﹙α+β).