已知正方形ABCD,E为AB中点,F为AD中点,连接CE,BF交于点G,连接DG,求证CD=DG

题目

已知正方形ABCD,E为AB中点,F为AD中点,连接CE,BF交于点G,连接DG,求证CD=DG

答案

过点D作DH‖BF,交BC于点H,交CE于点M,连接HG
∵E为AB中点,F为AD中点
∴AF=BE
在△ABF和△BCE中
∵AF=BE,∠A=∠ABC=90,AB=BC
∴△ABF≌△BCE(SAS)
∴∠AFB=∠BEC
∵∠AFB+∠ABF=90
∴∠BEC+∠ABF=∠BGC=90
∵DH‖BF,AD‖BC
∴四边形DFBH是平行四边形
∴BH=HC=FD
∴点H为BC边的中点
∵∠BGC=90
∴GH=HC
∵BF‖DH
∴∠EMH=∠HCM=90
在△GHM和△CHM中
∵GH=CH,HM=HM,∠EMH=∠HCM=90
∴△GHM≌△CHM(HL)
∴GM=CM
在△GMD和△CMD中
∵GM=CM,∠GMD=∠CMD=90,DM=DM
∴△GMD≌△CMD(SAS)
∴CD=DG
或许步骤太多了你不爱看,那我把我的解题思路跟你说一下:由△ABF≌△BCE可证明∠BGC=90,再因为DH‖BF可求出:∠GMD=∠CMD=∠EMH=∠HCM=90
在Rt△BGC中,由于H是斜边BC的中点,可求出BH=CH=GH.根据以上的条件,可先证明△GHM≌△CHM(HL) 从而得出GM=CM,然后再利用这个条件,证明△GMD≌△CMD(SAS),所以CD=DG