已知双曲线的两个焦点为F1（-√6,0）,F2（√6,0）,M是双曲线上一点,且∠F1MF2=60°,S⊿F1MF2=2√3.

题目

已知双曲线的两个焦点为F1（-√6,0）,F2（√6,0）,M是双曲线上一点,且∠F1MF2=60°,S⊿F1MF2=2√3.
1）求双曲线的标准方程
2）若抛物线x²=2py（p＞0）的图像过点M,求抛物线方程.

答案

1
三角形F1MF2中,
F1F2^2=MF1^2+MF2^2-2MF1MF2cos60
=(MF1-MF2)^2-2MF1MF2(1+cos60)
S=MF1MF2sin60/2
MF1MF2=2S/(sin60)=2*2√3/(√3/2)=8
(MF1-MF2)^2=F1F2^2+2MF1MF2*(1+1/2)=24+16*3/2=48
|MF1-MF2|=4√3
焦点在x轴,4√3=2a,a=2√3,a^2=12,b^2=6
方程为x^2/12-y^2/6=1
S=(M到x轴距离)*F1F2/2,M到X轴距离为4√3/(2√6)=√2,y1=√2,y2=-√2
x1=2√2,x2=-2√2
M有四种可能M1(2√2,√2),M2(2√2,-√2),M3(-2√2,√2),M4(-2√2,-√2)
2
x^2=2py ,p>0过M点
y>0
p=x^2/2y
p=(2√2)^2/(2√2)=2√2
x^2=4√2y