差比数列求和 牛人进

题目

差比数列求和 牛人进
已知数列an的首项a1=2/3,an+1=2an/(an+1),n=1,2,3.
1).证明：数列(1/an)-1是等比数列
2).数列n/an的前n项和Sn
我已经算出(1/an)-1是以1/2为首项,2为公差的等比数列,第二问貌似是差比数列,我想算n/an -n的前n项和,再加上bn=n的前n项和,不过没算出来,

答案

你的想法是对的
后面计算n/an -n的前n项和
是等差数列与等比数列乘积的 前n项和运用错位相减法
设bn= 1/an -1
b1=1/2 公比=1/2 bn= (1/2)^n
Sn= b1+2*b2+……+nbn
= 1/2 + 2* (1/2)^2 +3*(1/2)^3 +……+n(1/2)^n ①
Sn/2=(1/2)^2+2*(1/2)^3+……+（n-1）(1/2)^n+n*(1/2)^（n+1） ②
① - ② 得到
Sn/2=1/2+(1/2)^2+(1/2)^3+……+(1/2)^n- n*(1/2)^（n+1）
最前面的是一个 等比数列了
我想后面的你会了
要是不会就百度hi 我