在RT三角形ABC中,角C=90度 D是AB的中点,E,F分别在AC,和BC上,且DE垂直DF：求证EF的平方=AE的平方加BF的

题目

在RT三角形ABC中,角C=90度 D是AB的中点,E,F分别在AC,和BC上,且DE垂直DF：求证EF的平方=AE的平方加BF的

答案

证明：在FD的延长线上取点G,使GD＝FD,连接EG
∵∠ACB＝90
∴∠BAC+∠ABC＝90
∵D是AB的中点
∴AD＝BD
∵GD＝FD,∠BDF＝∠ADG
∴△ADG≌△BDF （SAS）
∴AG＝BF,∠GAD＝∠ABC
∴∠CAG＝∠BAC+∠GAD＝∠BAC+∠ABC＝90
∴EG²＝AE²+AG²＝AE²+BF²
∵DE⊥DF,GD＝FD
∴DE垂直平分FG
∴EF＝EG
∴EF²＝AE²+BF²