已知集合A={X|X^2-3X+2=0},B={X|X^2+2(a+1)X+a^2-5=0}.若AUB＝A,求实数a的取值范围．

题目

已知集合A={X|X^2-3X+2=0},B={X|X^2+2(a+1)X+a^2-5=0}.若AUB＝A,求实数a的取值范围．

答案

x²-3x+2=0
(x-1)(x-2)=0
x=1或x=2
A={1,2}
因为A∪B=A,有四种情况
（1）B=空集
方程x²+2(a+1)x+a²-5=0无解
判别式Δ<0
4(a+1)²-4(a²-5)<0
4a²+8a+4-4a²+20<0
8a+24<0,a<-3
（2）B={1}
x=1是方程x²+2(a+1)x+(a²-5)=0的唯一解
由韦达定理知
1+1=-2(a+1),1×1=a²-5
a无解
（3）B={2}
x=2是方程x²+2(a+1)x+(a²-5)=0的唯一解
由韦达定理知
2+2=-2(a+1),2×2=a²-5
解得a=-3
（4）B={1,2}
x=1,x=2是方程x²+2(a+1)x+(a²-5)=0的解
由韦达定理知
1+2=-2(a+1),1×2=a²-5
a无解
综合四种情况,实数a的取值范围是a≤-3