平面内与两定点A1(-a,0),A2(a,0) (a>0)连线斜率之积等于非零常数m的点的轨迹

平面内与两定点A1(-a,0),A2(a,0) (a>0)连线斜率之积等于非零常数m的点的轨迹

题目
平面内与两定点A1(-a,0),A2(a,0) (a>0)连线斜率之积等于非零常数m的点的轨迹
平面内与两定点A1(-a,0),A2(a,0)(a>0)连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹,加上A1,A2两点所成的曲线C可以是圆,椭圆或双曲线。
第一小题问曲线C的方程,以及C的形状与m的关系 主要是第2小题,问当m=-1时,对应的曲线为C1:对给定的m在(-1,0)∪(0,+∞),对应的曲线为C2,设F1,F2是C2的两个焦点,求在C1上,是否存在点N,使得△F1NF2的面积S=▏m ▏a² 如果存在,求tan∠F1NF2的值,如果不存在,请说明理由
答案
这是2011湖北理科数学高考第20题
(Ⅰ)设动点为M,其坐标为(x,y),
当x≠±a时,由条件可得kMA₁•kMA₂=y/ ﹙x-a ﹚•y/﹙ x+a ﹚=m,
即mx²-y²=ma²(x≠±a),
又A₁(-a,0),A₂(a,0)的坐标满足mx²-y²=ma².
当m<-1时,曲线C的方程为x² /a² +﹙y /-ma² ﹚ =1,C是焦点在y轴上的椭圆;
当m=-1时,曲线C的方程为x²+y²=a²,C是圆心在原点的圆;
当-1<m<0时,曲线C的方程为x² /a² +﹙y /-ma² ﹚ =1,C是焦点在x轴上的椭圆;
当m>0时,曲线C的方程为x² /a² +﹙y /-ma² ﹚ =1,C是焦点在x轴上的双曲线;
(Ⅱ)由(I)知,当m=-1时,C1方程为x²+y²=a²,
当m∈(-1,0)∪(0,+∞)时,C2的焦点分别为F1(-a√﹙1+m﹚ ,0),
F2(a √﹙1+m﹚,0),
对于给定的m∈(-1,0)∪(0,+∞),C1上存在点N(xο,yο)(yο≠0),使得△F1NF2的面积S=|m|a²,
的充要条件为 xο+yο=a²① (1/ 2)* 2a√﹙ 1+m﹚ |y0|=|m|a² ②
由①得0<|y0|≤a,由②得|y0|=|m|a√﹙ 1+m﹚ ,
当0<|m|a / √﹙ 1+m﹚≤a,即﹙1- √5﹚/ 2 ≤m<0,或0<m≤﹙1+ √5﹚/ 2 时,
存在点N,使S=|m|a²,
当|m|a / √﹙ 1+m﹚ >a,即-1<m<﹙1- √5﹚/ 2,或m>﹙1﹢√5﹚/ 2 时,不存在满足条件的点N.
当m∈[﹙1- √5﹚/ 2 ,0)∪(0,﹙1﹢√5﹚/ 2 ]时,由 NF1 =(-a √﹙ 1+m﹚ -x0,-y0),NF2 =(a√﹙ 1+m﹚ -x0,-y0),
可得 NF1 • NF2 =xο²-(1+m)a²+yο²=-ma².
令| NF1 |=r1,| NF2 |=r2,∠F1NF2=θ,
则由 NF1 • NF2 =r1r2cosθ=-ma²,可得r1r2=-ma² cosθ ,
从而s=½ r₁r₂sinθ=-ma²sinθ/ 2cosθ =-½ma²tanθ,于是由S=|m|a²,
可得-½ ma²tanθ=|m|a²,即tanθ=-2|m|/ m ,
综上可得:当m∈[﹙1-√5﹚/ 2 ,0)时,在C1上存在点N,使得△F1NF2的面积S=|m|a²,且tanθ=2;
当m∈(0,﹙1﹢√5﹚/ 2 ]时,在C1上存在点N,使得△F1NF2的面积S=|m|a²,且tanθ=-2;
当(-1,﹙1-√5﹚/ 2 )∪(﹙1﹢√5﹚/ 2 ,+∞)时,不存在满足条件的点N.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
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