如图，抛物线与直线都经过坐标轴的正半轴上A（4，0），B两点，该抛物线的对称轴x=-1，与x轴交于点C，且∠ABC=90°，求： （1）直线AB的解析式； （2）抛物线的解析式．

题目

如图，抛物线与直线都经过坐标轴的正半轴上A（4，0），B两点，该抛物线的对称轴x=-1，与x轴交于点C，且∠ABC=90°，求：

（1）直线AB的解析式；   
（2）抛物线的解析式．

答案

（1）∵A点坐标为（4，0），C点坐标为（-1，0），
∴OA=4，OC=1，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBO=∠BAO，
∴Rt△CBO∽Rt△BAO，
∴OB：OA=OC：OB，即OB：4=1：OB，
∴OB=2，
∴B点坐标为（2，0），
设直线AB的解析式为y=mx+n，
把A（4，0）、B（0，2）代入得

4m+n＝0 n＝2

，解得

m＝− 1 2 n＝2

，
∴直线AB的解析式为y=-

1

2

x+2；
（2）∵该抛物线的对称轴x=-1，
而A点坐标为（4，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-6，0），
设抛物线的解析式为y=a（x+6）（x-4），
把B（0，2）代入得a•6•（-4）=2，解得a=-

1

12

，
所以抛物线的解析式为y=-

1

12

（x+6）（x-4）=-

1

12

x²-

1

6

x+2．

（1）先证明Rt△CBO∽Rt△BAO，利用相似比计算出OB=2，则B点坐标为（2，0），然后利用待定系数法确定直线AB的解析式；
（2）先利用对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-6，0），则可设交点式y=a（x+6）（x-4），然后把B点坐标代入求出a即可．

本题考点：待定系数法求二次函数解析式；待定系数法求一次函数解析式．

考点点评：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．