半径为R的球内接正三棱锥体积的最大值

题目

半径为R的球内接正三棱锥体积的最大值

答案

设底面三角形重（内、外）心至顶点距离为m,三棱锥高h,m^2=(2R-h)h,
底面正三角形高=3m/2,底边长=√3/3*3m/2*2=√3m,
底面积=√3m*（3m/2）/2=3√3m^2/4,
棱锥体积V=S△*h/3=3√3m^2/4*h/3=3√3/4*h*(2R-h)h/12
=3√3Rh^2/2-3√3h^3/4
V'=3√3Rh-9√3h^2/4,令V'=0,驻点h=4R/3,
V"=3√3R-9√3h/2,当h=4R/3时,该点二阶导数小于o,h=4R/3有最大值,
棱锥体积V=3√3R*(4R/3)^2/2-9√3*(4R/3)^3/4
=16√3R^3/9