设矩阵A=(423 110 -123) 求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.请注明计算过程.用打出来的,

题目

设矩阵A=(423 110 -123) 求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.请注明计算过程.用打出来的,

答案

AB=A+2B
那么
(A-2E)B=A
所以B=A (A-2E)^(-1)
而A-2E=
2 2 3
1 -1 0
-1 2 1
用初等行变化求矩阵的逆矩阵的时候,
即用行变换把矩阵(A,E)化成(E,B)的形式,那么B就等于A的逆
在这里
(A-2E,E)=
2 2 3 1 0 0
1 -1 0 0 1 0
-1 2 1 0 0 1 第1行减去第2行×2,第3行加上第2行
～
0 4 3 1 -2 0
1 -1 0 0 1 0
0 1 1 0 1 1 第1行减去第3行×3,第3行加上第1行
～
0 1 0 1 -5 -3
1 0 1 0 2 1
0 0 1 -1 6 4 第2行减去第3行,交换行次序
～
1 0 0 1 -4 -3
0 1 0 1 -5 -3
0 0 1 -1 6 4
所以 (A-2E)^(-1)=
1 -4 -3
1 -5 -3
-1 6 4
于是B=A (A-2E)^(-1)=
4 2 3 1 -4 -3
1 1 0 1 -5 -3
-1 2 3 -1 6 4
=
3 -8 -6
2 -9 -6
-2 12 9