已知函数f(x)=ex(x2+ax+1). (1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线与x轴平行,求a的值; (2)求函数f(x)的极值.

已知函数f(x)=ex(x2+ax+1). (1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线与x轴平行,求a的值; (2)求函数f(x)的极值.

题目
已知函数f(x)=ex(x2+ax+1).
(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线与x轴平行,求a的值;
(2)求函数f(x)的极值.
答案
f'(x)=ex[x2+(a+2)x+a+1](2分)
(1)f'(2)=e2[4+2(a+2)+a+1]=0,解得a=-3(4分)
(2)令f'(x)=0,得x1=-1,x2=-1-a
当a=0时,无极值(7分)
当a>0,-1>-1-a,f(x)在(-∞,-1-a),(-1,+∞)上递增,(-1-a,-1)上递减
极大值为f(-1-a)=e-1-a(a+2),极小值f(−1)=
2−a
e
(10分)
当a<0时,-1<-1-a,f(x)在(-∞,-1),(-1-a,+∞)上递增,(-1,-a-1)上递减
极大值为f(−1)=
2−a
e
,极小值f(-1-a)=e-1-a(a+2)(13分)
(1)先由所给函数的表达式,求导数fˊ(x),再根据导数的几何意义求出切线的斜率,最后由平行直线的斜率相等方程求a的值即可;
(2)对参数a进行分类,先研究f(x)的单调性,利用导数求解f(x)在R上的最小值问题即可,故只要先求出函数的极值,比较极值和端点处的函数值的大小,最后确定出最小值即得.

利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的极值.

本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的最值及其几何意义、两条直线平行的判定等基础知识,考查运算求解能力.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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