已知a^2+a-1=0,求代数式a^5-5a的值

题目

已知a^2+a-1=0,求代数式a^5-5a的值

答案

已知a²+a-1=0,求代数式a⁵-5a的值
由a²+a-1=0,得a₁=(-1+√5)/2=-(1-√5)/2； a₂=(-1-√5)/2=-(1+√5)/2.
a₁²=(3-√5)/2； a₁⁴=(7-3√5)/2； a₂²=(3+√5)/2; a₂⁴=(7+3√5)/2；
用a₁=-(1-√5)/2代入a⁵-5a得：
a⁵-5a=a(a⁴-5)=-[(1-√5)/2][(7-3√5)/2-5]=-[(1-√5)/2][(-3-3√5)/2]
=(3/4)(1-√5)(1+√5)=-3
用a₂=-(1+√5)/2代入a⁵-5a得：
a⁵-5a=a(a⁴-5)=-[(1+√5)/2][(7+3√5)/2-5]=-[(1+√5)/2][(-3+3√5)/2]
=-(3/4)(1+√5)(1-√5)=3
即a⁵-5a=±3.