求不定积分:(x-5)dx/(x^3-3x^2+4)

求不定积分:(x-5)dx/(x^3-3x^2+4)

题目
求不定积分:(x-5)dx/(x^3-3x^2+4)
答案
x^3-3x^2+4=(x+1)(x^2-4x+4)=(x+1)(x-2)^2
用有理函数的方法
所以(x-5)/(x^3-3x^2+4)=A/(x+1)+B/(x-2)+C/(x-2)^2
两边同乘(x^3-3x^2+4)
得到
x-5=A(x-2)^2+B(x+1)(x-2)+C(x+1)
对于任意x都成立
令x=2
-3=3C,C=-1
令x=-1
-6=9A,A=-2/3
令x=0
-5=4A-2B+C
B=(5-8/3-1)/2=2/3
所以
(x-5)/(x^3-3x^2+4)=(-2/3)/(x+1)+(2/3)/(x-2)-1/(x-2)^2
然后分开积分
∫(x-5)/(x^3-3x^2+4)=-2/3 ln|x+1|+2/3 ln|x-2|+1/(x-2)+C
=(2/3)ln|(x-2)/(x+1)|+1/(x-2)+C
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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