已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,且f(x)=x2+2x. (Ⅰ)求函数g(x)的解析式; (Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|.
题目
已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,且f(x)=x2+2x.
(Ⅰ)求函数g(x)的解析式;
(Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|.
答案
(Ⅰ)设函数y=f(x)的图象上任意一点Q(x
0,y
0)关于原点的对称点为P(x,y),则P在g(x)的图象上,
且
,即
∵点Q(x
0,y
0)在函数y=f(x)的图象上,
∴-y=x
2-2x,即y=-x
2+2x,故,g(x)=-x
2+2x.
(Ⅱ)由g(x)≥f(x)-|x-1|,可得2x
2-|x-1|≤0
当x≥1时,2x
2-x+1≤0,此时不等式无解.
当x<1时,2x
2+x-1≤0,解得-1≤x≤
.因此,原不等式的解集为[-1,
].
(Ⅰ)设函数y=f(x)的图象上任意一点Q(x0,y0)关于原点的对称点为P(x,y),则P在g(x)的图象上,由线段的中点公式解出 x0和y0 的解析式,代入函数y=f(x)可得g(x)的解析式.
(Ⅱ)不等式可化为 2x2-|x-1|≤0,分类讨论,却掉绝对值,求出不等式的解集.
绝对值不等式的解法;函数解析式的求解及常用方法.
本题考查求函数的解析式的方法以及解绝对值不等式的方法,体现了分类讨论的数学思想.
举一反三
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