设函数f(x) 在区间[a,b]上连续,将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn],其中x0=a,xn=b。可知各区间的长度依次是:△x1=x1-x0, △x2=x2-x1, …, △xn=xn-xn-1。在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi(1,2,...,n),作和式。设λ=max{△x1, △x2, …, △xn}(即λ是最大的区间长度),则当λ→0时,该和式无限接近于某个常数,这个常数叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分,记为:其中:a叫做积分下限,b叫做积分上限,区间[a, b]叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx 叫做被积表达式,∫ 叫做积分号。之所以称其为定积分,是因为它积分后得出的值是确定的,是一个数, 而不是一个函数。根据上述定义,若函数f(x)在区间[a,b]上可积分,则有n等分的特殊分法:
特别注意,根据上述表达式有,当[a,b]区间恰好为[0,1]区间时,则[0,1]区间积分表达式为:
1、
2、
3、常数可以提到积分号前。
4、代数和的积分等于积分的代数和。
5、定积分的可加性:如果积分区间[a,b]被c分为两个子区间[a,c]与[c,b]则有又由于性质2,若f(x)在区间D上可积,区间D中任意c(可以不在区间[a,b]上)满足条件。
6、Risch 算法
7、如果在区间[a,b]上,f(x)≥0,则
8、积分中值定理:设f(x)在[a,b]上连续,则至少存在一点 t 在(a,b)内使
A.与f(x)和区间[a,b]有关,与分点的个数n和ξi的取法无关
B.与f(x)和区间[a,b]和分点的个数n有关,与ξi的取法无关
C.与f(x)和区间[a,b]和分点的个数n,ξi的取法都有关
D.与f(x)和区间[a,b]和ξi取法有关,与分点的个数n无关
A.一定是正的 |
B.一定是负的 |
C.当0<a<b时是正的,当a<b<0时是负的 |
D.以上结论都不对 |
∫ | 10 |
∫ | 50 |
∫ | T0 |
∫ | 10 |
∫ | 10 |
∫ | 31 |
1 |
x |
A.3 | B.1 | C.
| D.
|
∫ | 20 |
A.1 | B.2 | C.3 | D.4 |
|
1 |
2 |
∫ | 12 |
1 |
x |
∫ | 1 0 |
3 |
∫ | 10 |
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