二次函数f(x)的图象顶点为A(1,16),且图象在x轴上截得线段长为8.(1)求函数f(x)的解析式;(2)令g(x)=(2-2a)x-f(x);①若函数g(
题型:解答题难度:一般来源:不详
二次函数f(x)的图象顶点为A(1,16),且图象在x轴上截得线段长为8. (1)求函数f(x)的解析式; (2)令g(x)=(2-2a)x-f(x); ①若函数g(x)在x∈[0,2]上是单调增函数,求实数a的取值范围; ②求函数g(x)在x∈[0,2]的最小值. |
答案
(1)由条件设二次函数f(x)=a(x-1)2+16=ax2-2ax+a+16, 设f(x)=0的两根为:x1,x2,令x1<x2, ∵图象在x轴上截得线段长为8,由韦达定理得: (x2-x1)2=(x2+x1)2-4x2x1=(-2)2-4×a+16 a=64 解得a=-1, ∴函数的解析式为f(x)=-x2+2x+15. (2)①∵f(x)=-x2+2x+15, ∴g(x)=(2-2a)x-f(x)=x2-2ax-15, 而g(x)在x∈[0,2]上是单调增函数, ∴对称轴x=a在[0,2]的左侧, ∴a≤0. 所以实数a的取值范围是{a|a≤0}. ②g(x)=x2-2ax-15,x∈[0,2], 对称轴x=a, 当a>2时,g(x)min=g(2)=4-4a-15=-4a-15, 当a<0时,g(x)min=g(0)=-15, 当0≤a≤2时,g(x)min=g(a)=a2-2a2-15=-a2-15. |
举一反三
如果函数y=x2+ax-1在闭区间[0,3]上有最小值-2,那么a的值是______. |
当x∈[0,2]时,函数f(x)=x2+4(a-1)x-3仅在x=2时取得最大值,则a∈______. |
如果二次函数y=5x2+mx+4在区间(-∞,-1)上是减函数,在区间[-1,+∞)上是增函数,则f(x)的最小值为______. |
设函数f(x)=x2+2bx+c,c<b<1,f(1)=0且方程f(x)+1=0有实数根. (1)证明:-3<c≤-1,且b≥0; (2)若m是方程f(x)+1=0的一个实数根,判断f(m-4)的符号,并证明你的结论. |
已知关于x的方程9x+m•3x+6=0(其中m∈R). (1)若m=-5,求方程的解; (2)若方程没有实数根,求实数m的取值范围. |
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