设函数f（x）=x2+2bx+c，c＜b＜1，f（1）=0且方程f（x）+1=0有实数根．（1）证明：-3＜c≤-1，且b≥0；（2）若m是方程f（x）+1=0
题型：解答题难度：一般来源：不详
设函数f（x）=x2+2bx+c，c＜b＜1，f（1）=0且方程f（x）+1=0有实数根．
（1）证明：-3＜c≤-1，且b≥0；
（2）若m是方程f（x）+1=0的一个实数根，判断f（m-4）的符号，并证明你的结论． |
答案
（1）∵f（1）=0，∴1+2b+c=0；
∴b=-．
又c＜b＜1，
故c＜-＜1．即-3＜c＜-．
又f（x）+1=0有实数根．
即x2+2bx+c+1=0有实数根．
∴△=4b2-4（c+1）≥0；
即（c+1）2-4（c+1）≥0；
∴c≥3或c≤-1；
又-3＜c＜-，取交集得-3＜c≤-1，
由b=-知b≥0．
（2）f（x）=x2+2bx+c
=x2-（c+1）x+c
=（x-c）（x-1）．
∴函数f（x）=x2+2bx+c的图象与x轴交于A（c，0）、B（1，0）两点；
∵f（m）=-1＜0，∴c＜m＜1；
∴c-4＜m-4＜1-4＜c；
∴m-4＜c．
∵f（x）=x2+2bx+c在（-∞，c）上递减，
∴f（m-4）＞f（c）=0．
∴f（m-4）的符号为正． |
举一反三
已知关于x的方程9x+m•3x+6=0（其中m∈R）．
（1）若m=-5，求方程的解；
（2）若方程没有实数根，求实数m的取值范围． |
| 已知0＜x＜1，则函数y=的最大值等于______． |
设函数f（x）=x2-2tx+2，其中t∈R．
（1）若t=1，求函数f（x）在区间[0，4]上的取值范围；
（2）若t=1，且对任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）≤5，求实数a的取值范围．
（3）若对任意的x1，x2∈[0，4]，都有|f（x1）-f（x2）|≤8，求t的取值范围． |
| 二次函数f（x）=ax2+bx+c恒满足f（x）≤f（2）且在（m，m+1）上是单调增函数，则m的取值范围是______． |
| 如果函数y=x2+ax+2在区间（-∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是______． |
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