设函数f(x)=x2-2tx+2,其中t∈R.(1)若t=1,求函数f(x)在区间[0,4]上的取值范围;(2)若t=1,且对任意的x∈[a,a+2],都有f(
题型:解答题难度:一般来源:不详
设函数f(x)=x2-2tx+2,其中t∈R. (1)若t=1,求函数f(x)在区间[0,4]上的取值范围; (2)若t=1,且对任意的x∈[a,a+2],都有f(x)≤5,求实数a的取值范围. (3)若对任意的x1,x2∈[0,4],都有|f(x1)-f(x2)|≤8,求t的取值范围. |
答案
因为f(x)=x2-2tx+2=(x-t)2+2-t2, 所以f(x)在区间(-∞,t]上单调减,在区间[t,∞)上单调增,且对任意的x∈R,都有f(t+x)=f(t-x), (1)若t=1,则f(x)=(x-1)2+1. ①当x∈[0,1]时.f(x)单调减,从而最大值f(0)=2,最小值f(1)=1. 所以f(x)的取值范围为[1,2]; ②当x∈[1,4]时.f(x)单调增,从而最大值f(4)=10,最小值f(1)=1. 所以f(x)的取值范围为[1,10]; 所以f(x)在区间[0,4]上的取值范围为[1,10]. …(3分) (2)“对任意的x∈[a,a+2],都有f(x)≤5”等价于“在区间[a,a+2]上,[f(x)]max≤5”. ①若t=1,则f(x)=(x-1)2+1, 所以f(x)在区间(-∞,1]上单调减,在区间[1,∞)上单调增. ②当1≤a+1,即a≥0时, 由[f(x)]max=f(a+2)=(a+1)2+1≤5,得-3≤a≤1, 从而 0≤a≤1. ③当1>a+1,即a<0时,由[f(x)]max=f(a)=(a-1)2+1≤5,得-1≤a≤3, 从而-1≤a<0. 综上,a的取值范围为区间[-1,1]. …(6分) (3)设函数f(x)在区间[0,4]上的最大值为M,最小值为m, 所以“对任意的x1,x2∈[0,4],都有|f(x1)-f(x2)|≤8”等价于“M-m≤8”. ①当t≤0时,M=f(4)=18-8t,m=f(0)=2. 由M-m=18-8t-2=16-8t≤8,得t≥1. 从而 t∈∅. ②当0<t≤2时,M=f(4)=18-8t,m=f(t)=2-t2. 由M-m=18-8t-(2-t2)=t2-8t+16=(t-4)2≤8,得 4-2≤t≤4+2. 从而 4-2≤t≤2. ③当2<t≤4时,M=f(0)=2,m=f(t)=2-t2. 由M-m=2-(2-t2)=t2≤8,得-2≤t≤2. 从而 2<t≤2. ④当t>4时,M=f(0)=2,m=f(4)=18-8t. 由M-m=2-(18-8t)=8t-16≤8,得t≤3. 从而 t∈∅. 综上,t的取值范围为区间[4-2,2]. …(10分) |
举一反三
二次函数f(x)=ax2+bx+c恒满足f(x)≤f(2)且在(m,m+1)上是单调增函数,则m的取值范围是______. |
如果函数y=x2+ax+2在区间(-∞,4]上是减函数,那么实数a的取值范围是______. |
定义行列式运算=如1如4-如2如3.若=0. (1)求t如3如的值; (2)求函数f(x)=cos2x+t如3如si3x(x∈R)的值域. |
学校食堂改建一个开水房,计划用电炉或煤炭烧水,但用煤时也要用电鼓风及时排气,用煤烧开水每吨开水费用为S元,用电炉烧开水每吨开水费用为P元,S=5y+0.2x+5,P=10.2x+20,其中y为每吨煤的价格,x为每百度电的价格.如果烧煤时的费用不超过用电炉时的费用,则仍用原备的锅炉烧水,否则就用电炉烧水. (1)如果两种方法烧水费用相同,试将每吨煤的价格y表示为每百度电价x的函数; (2)如果每百度电价不低于60元,则用煤烧时每吨煤的最高价是多少? |
比较x2+2y2与(x+y)y大小(其中x,y∈R). |
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