设a为常数,求数列a,2a2,3a2,…,nan的前n项和.

设a为常数,求数列a,2a2,3a2,…,nan的前n项和.

题目
设a为常数,求数列a,2a2,3a2,…,nan的前n项和.
答案
设数列a,2a2,3a2,…,nan的前n项和为Sn
当a=0时,则Sn=0.
当a=1时,Sn=1+2+3+…+n=
n(n+1)
2

若a≠0且a≠1时,则Sn=a+2a2+3a3+4a4+…+nan,①
∴aSn=a2+2 a3+3 a4+…+nan+1,②
①-②,得(1-a) Sn=a+a2+a3+…+an-nan+1
=
a(1−an)
1−a
−nan+1

∴Sn=
a−an+1
(1−a)2
nan+1
1−a
,(a≠1)
若a=0,则Sn=0适合上式.
Sn=
n(n+1)
2
,n=1
a−an+1
(1−a)2
nan+1
1−a
,n≠1

∴数列a,2a2,3a2,…,nan的前n项和为
n(n+1)
2
,n=1
a−an+1
(1−a)2
nan+1
1−a
,n≠1
..
设数列a,2a2,3a2,…,nan的前n项和为Sn,当a=0时,则Sn=0;当a=1时,Sn=
n(n+1)
2
.若a≠0且a≠1时,利用错位相减法求解.

数列的求和.

本题考查数列的前n项和的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意错位相减法的合理运用.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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