设a为常数，求数列a，2a2，3a2，…，nan的前n项和．

题目

设a为常数，求数列a，2a²，3a²，…，naⁿ的前n项和．

答案

设数列a，2a²，3a²，…，naⁿ的前n项和为S_n，
当a=0时，则S_n=0．
当a=1时，S_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

．
若a≠0且a≠1时，则S_n=a+2a²+3a³+4a⁴+…+naⁿ，①
∴aS_n=a²+2 a³+3 a⁴+…+naⁿ⁺¹，②
①-②，得（1-a） S_n=a+a²+a³+…+aⁿ-naⁿ⁺¹
=

a(1−an)

1−a

−nan+1，
∴S_n=

a−an+1

(1−a)2

−

nan+1

1−a

，（a≠1）
若a=0，则S_n=0适合上式．
S_n=

n(n+1) 2 ，n＝1 a−an+1 (1−a)2 − nan+1 1−a ，n≠1

．
∴数列a，2a²，3a²，…，naⁿ的前n项和为

n(n+1) 2 ，n＝1 a−an+1 (1−a)2 − nan+1 1−a ，n≠1

．．

设数列a，2a²，3a²，…，naⁿ的前n项和为S_n，当a=0时，则S_n=0；当a=1时，S_n=

n(n+1)

2

．若a≠0且a≠1时，利用错位相减法求解．

本题考点：数列的求和．

考点点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．