如图,在Rt三角形ABC中,角BAC=90度,以直角边AB为直径的圆O交斜边BC于点D,OE平行于BC交AC于E,求证：DE于圆O的切线.

题目

如图,在Rt三角形ABC中,角BAC=90度,以直角边AB为直径的圆O交斜边BC于点D,OE平行于BC交AC于E,求证：DE于圆O的切线.

答案

证明：在 Rt△ABC中
连接AD OD
∵AB是圆O的直径
∴∠ADB=∠ADC=90°
∴O是AB的中点
∴OA=OD (直角三角形斜边上的中线是斜边的一半)
∴∠OAD=∠ODA
∵∠OAD+∠DAE=90°
∴∠ODA+∠DAE=90°
在 Rt△ADC中
∵E是AC的中点
∴AE=1/2AC
∵DE=1/2AC (直角三角形斜边上的中线是斜边的一半)
∴AE=DE
∴∠DAE=∠ADE
∴∠ODA+∠ADE=90°
∴OD⊥DE
∴DE是圆O的切线