已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0）的离心率为1/2,F1,F2分别为椭圆C的左右焦点,若椭圆C的焦距为2.

题目

已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0）的离心率为1/2,F1,F2分别为椭圆C的左右焦点,若椭圆C的焦距为2.
（1）求椭圆C的方程（2）设M为椭圆上任意一点,以M为圆心,MF1为半径作圆M,当圆M与椭圆的右准线l有公共点时,求△MF1F2面积最大值.

答案

（1）∵2c=2,且c／a=1／2,
∴c=1,a=2．
∴b²=3．
∴x²／4+y²／3=1．
（2）设M（x0,y0）,
x0²／4+y0²／3=1．
∵F1（-1,0）,a²／c=4,
∴直线lx=4．
由于圆M与l有公共点,
M到l的距离4-x0小于或等于圆的半径R．
R²=MF1²=（x0+1）²+y0²,
（4-x0）²≤（x0+1）2+y0²,
y0²+10x0-15≥0．
∵y0²=3(1-x0²／4),
3-3x0²／4+10x0-15≥0．
∴4／3≤x0≤2．
当x0=4／3时,|y0|=√15／3,
(S△MF1F2)max=1／2×2×√15／3=√15／3．