如图:菱形PQRS内接于矩形ABCD,使得P、Q、R、S为AB、BC、CD、DA上的内点.已知PB=15,BQ=20,PR=30,QS=40.若既约分数m/n为矩形ABCD的周长,求m+n.
题目
如图:菱形PQRS内接于矩形ABCD,使得P、Q、R、S为AB、BC、CD、DA上的内点.已知PB=15,BQ=20,PR=30,QS=40.若既约分数
答案
设AS=x、AP=y,
由菱形性质知PR⊥SQ,且互相平分,这样得到8个直角三角形,易知PR与SQ的交点是矩形ABCD的中心.由已知可得其中6个三角形的边长分别为15、20、25.由对称性知CQ、CR的长为x、y.则Rt△ASP和Rt△CQR的三边长分别为x、y、25,矩形面积等于8个Rt△的面积之和.则有:
(20+x)(15+y)=6×
×20×15+2×
xy
则有3x+4y=120 ①
又x
2+y
2=625 ②
得x
1=20x
2=
y
1=15y
2=
当x=20时BC=x+BQ=40这与PR=30不合
故x=
y=
∴矩形周长为2(15+20+x+y)=
即:m+n=677
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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