单偶阶、双偶阶幻方的巧妙填法

题目

单偶阶、双偶阶幻方的巧妙填法

答案

一、双偶幻方的解法
能被4整除的n阶幻方叫双偶幻方,如8阶、12阶、16阶等,双偶幻方用Spring法、Strachey法生成.
1、Spring法生成双偶幻方：
方法就是两句话：顺序填数,以中心点对称互换数字.
第一步,顺序填数；
简单地说,就是1放在幻方的任意一个角格,然后按同一个方向按顺序依次填写其余数.
以8阶幻方为例,顺序填数.如下所示：
1x092x093x094x095x096x097x098
9x0910x0911x0912x0913x0914x0915x0916
17x0918x0919x0920x0921x0922x0923x0924
25x0926x0927x0928x0929x0930x0931x0932
33x0934x0935x0936x0937x0938x0939x0940
41x0942x0943x0944x0945x0946x0947x0948
49x0950x0951x0952x0953x0954x0955x0956
57x0958x0959x0960x0961x0962x0963x0964
等等等等,共有8种方法.（以下我只以一种为例讲解.其余方法相同）
第二步,以中心点对称互换数字；
对称互换的方法有两种：
方法一；将左上区域i+j（i行、j列）为偶数的与幻方内以中心点为对称点的右下角对角数字进行交换；将右上区域i+j为奇数的与幻方内以中心点为对称点的左下角对角数字进行交换.（保证不同时为奇或偶即可.）
64x092x0962x094x095x0959x097x0957
9x0955x0911x0953x0952x0914x0950x0916
48x0918x0946x0920x0921x0943x0923x0941
25x0939x0927x0937x0936x0930x0934x0932
33x0931x0935x0929x0928x0938x0926x0940
24x0942x0922x0944x0945x0919x0947x0917
49x0915x0951x0913x0912x0954x0910x0956
8x0958x096x0960x0961x093x0963x091
或,
1x0963x093x0961x0960x096x0958x098
56x0910x0954x0912x0913x0951x0915x0949
17x0947x0919x0945x0944x0922x0942x0924
40x0926x0938x0928x0929x0935x0931x0933
32x0934x0930x0936x0937x0927x0939x0925
41x0923x0943x0921x0920x0946x0918x0948
16x0950x0914x0952x0953x0911x0955x099
57x097x0959x095x094x0962x092x0964
完成幻方,幻和值260.
方法二；将幻方等分成m*m个4阶幻方,将各4阶幻方中对角线上（或非对角线上）的方格内数字与n阶幻方内以中心点为对称点的对角数字进行交换.
下图为将各4阶幻方中对角线上的方格内数字与n阶幻方内以中心点为对称点的对角数字进行交换,完成幻方,幻和值260.
64x092x093x0961x0960x096x097x0957
9x0955x0954x0912x0913x0951x0950x0916
17x0947x0946x0920x0921x0943x0942x0924
40x0926x0927x0937x0936x0930x0931x0933
32x0934x0935x0929x0928x0938x0939x0925
41x0923x0922x0944x0945x0919x0918x0948
49x0915x0914x0952x0953x0911x0910x0956
8x0958x0959x095x094x0962x0963x091
下图为将各4阶幻方中非对角线上的方格内数字与n阶幻方内以中心点为对称点的对角数字进行交换,完成幻方,幻和值260.
1x0963x0962x094x095x0959x0958x098
56x0910x0911x0953x0952x0914x0915x0949
48x0918x0919x0945x0944x0922x0923x0941
25x0939x0938x0928x0929x0935x0934x0932
33x0931x0930x0936x0937x0927x0926x0940
24x0942x0943x0921x0920x0946x0947x0917
16x0950x0951x0913x0912x0954x0955x099
57x097x096x0960x0961x093x092x0964
2、Strachey法生成双偶幻方
第一步,将n阶双偶幻方表示为4m阶幻方.将其等分为四分,成为如下图所示A、B、C、D四个2m阶偶数幻方.
A C
D B
A用1至(2m)^2填写成2m阶幻方；B用(2m)^2+1至2*(2m)^2填写成2m阶幻方；C用2*(2m)^2+1至3*(2m)^2填写成2m阶幻方；D用3*(2m^)2+1至4*(2m)^2填写成2m阶幻方；
将8阶双偶幻方表示为4×2阶幻方.将其等分为四个2×2阶偶数幻方,即4阶偶数幻方.
16x092x093x0913x0948x0934x0935x0945
5x0911x0910x098x0937x0943x0942x0940
9x097x096x0912x0941x0939x0938x0944
4x0914x0915x091x0936x0946x0947x0933
64x0950x0951x0961x0932x0918x0919x0929
53x0959x0958x0956x0921x0927x0926x0924
57x0955x0954x0960x0925x0923x0922x0928
52x0962x0963x0949x0920x0930x0931x0917
第三步,在A每行取m个小格（一侧对角线格为必换格,其余m-1格只要不是另一侧对角线格即可）,将其与D相应方格内交换；B与C以相同方法进行.
对于8阶幻方,A每行取2个小格（一侧对角线格为必换格,其余1格只要不是另一侧对角线格即可）,要与D相应方格内交换；C与B以相同方法进行.
最简单的方法就是：A任意2列,与D相对应的2列互换,C任意2列,与B相对应的2列互换即可.
64x0950x093x0913x0948x0934x0919x0929
53x0959x0910x098x0937x0943x0926x0924
57x0955x096x0912x0941x0939x0922x0928
52x0962x0915x091x0936x0946x0931x0917
16x092x0951x0961x0932x0918x0935x0945
5x0911x0958x0956x0921x0927x0942x0940
9x097x0954x0960x0925x0923x0938x0944
4x0914x0963x0949x0920x0930x0947x0933
或
64x0950x093x0913x0932x0918x0935x0945
53x0959x0910x098x0921x0927x0942x0940
57x0955x096x0912x0925x0923x0938x0944
52x0962x0915x091x0920x0930x0947x0933
16x092x0951x0961x0948x0934x0919x0929
5x0911x0958x0956x0937x0943x0926x0924
9x097x0954x0960x0941x0939x0922x0928
4x0914x0963x0949x0936x0946x0931x0917
等等完成幻方,幻和值260.
二、单偶幻方的解法
单偶幻方用Strachey法完成：将n阶单偶幻方表示为4m+2阶幻方.将其等分为四分,成为如下图所示A、B、C、D四个2m+1阶奇数幻方.
A C
D B
A用1至2m+1填写成(2m+1)2阶幻方；B用(2m+1)2+1至2*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；C用2*(2m+1)2+1至3*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；D用3*(2m+1)2+1至4*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；
【注：(2m+1)2是(2m+1)的平方,以下同】
8x091x096x0926x0919x0924
3x095x097x0921x0923x0925
4x099x092x0922x0927x0920
35x0928x0933x0917x0910x0915
30x0932x0934x0912x0914x0916
31x0936x0929x0913x0918x0911
在A每行取m个小格（中心格及一侧对角线格为必换格,其余m-1格只要不是另一侧对角线格即可）,也就是说在A中间一行取包括中心格在内的m个小格,其他行左侧边缘取m个小格,将其与D相应方格内交换；B与C任取m-1列相互交换.
6阶幻方就是4*1+2,那么m就是1.在A中间一行取中心格1个小格,其他行左侧边缘取1个小格,将其与D相应方格内交换；B与C接近右侧m-1列相互交换（6阶幻方m-1=0,则不用互换）.如下图用Strachey法生成的6阶幻方：
35x091x096x0926x0919x0924
3x0932x097x0921x0923x0925
31x099x092x0922x0927x0920
8x0928x0933x0917x0910x0915
30x095x0934x0912x0914x0916
4x0936x0929x0913x0918x0911
每一行,每一列,对角线的和值（称为幻和值）为111.
一个n阶幻方幻和值公式为：
Nn=1/2xn(n2+1)
【注：n2是n的平方】
N6=1/2x6x(36+1)=111