求大神!关于求均匀球体转动惯量的问题

题目

求大神!关于求均匀球体转动惯量的问题

为什么会有1/2?可是同一本书上又写着这样的公式,如下：

岂不是没有1/2才是对的?我有些混了,请大师指点!

答案

因为圆盘相对于垂直于盘且通过圆心的转轴的转动惯量dJ=1/2 mr²
所以现在相当于是把球微分为无数个小圆盘,再将所有圆盘的转动惯量积分
即J=∫dJ=1/2 ∫(-R,R) r²dm=1/2 ∫(-R,R) r²ρπr²dz=1/2 ∫(-R,R) ρπ(R²-z²)²dz=2/5 mR²
而对于书中另外给出的公式J=∫r²dm针对的是所有质点,求球体转动惯量时无法直接应用
因为无法用一个变量表示出球体中所有点到转轴的距离,故必须先微分后积分