如何证明在圆中有一点,过这个点所截得的最短弦长是连接圆心和这点的直线的垂线

题目

如何证明在圆中有一点,过这个点所截得的最短弦长是连接圆心和这点的直线的垂线
我是要证明，如何证明

答案

如图,P是圆O中的一点,AB是经过P点且垂直于OP的弦.CD是经过P点的任意弦
作OQ垂直于CD,垂足为Q,连接OB,OD
设圆O的半径为R.则 OB=OD=R
在直角三角形OPQ中,OP是斜边,所以OP>OQ
因为,OP垂直于AB,OQ垂直于CD,所以,P、Q分别是AB、CD的中点
在直角三角形OPB中,BP²=R²-OP²
在直角三角形OQD中,DQ²=R²-OQ²
所以,DQ²-BP²=OP²-OQ²=(OP-OQ)(OP+OQ)
因为 OP>OQ
所以,(OP-OQ)(OP+OQ)>0
所以,DQ²-BP²>0
(DQ+BP)(DQ-BP)>0
而DQ+BP>0
因此 DQ-BP>0
1/2CD-1/2AB>0
CD>AB
则CD的任意性,可得AB小于任意一条经过P的弦
所以,命题得证.