证明:若函数f(x)在[0,1]上连续,则∫xf(sinx)dx=π/2∫f(sinx)dx (上限 π,下限 0)
题目
证明:若函数f(x)在[0,1]上连续,则∫xf(sinx)dx=π/2∫f(sinx)dx (上限 π,下限 0)
答案
令u=π-x,du=-dx,u:π--->0,则
∫[0--->π] xf(sinx)dx
=-∫[π--->0] (π-u)f(sin(π-u))du
=∫[0--->π] (π-u)f(sinu)du
=π∫[0--->π] f(sinu)du-∫[0--->π] uf(sinu)du
积分变量可随便换字母
=π∫[0--->π] f(sinx)dx-∫[0--->π] xf(sinx)dx
将 -∫[0--->π] xf(sinx)dx 移到等式左边与左边合并,然后除去系数
∫[0--->π] xf(sinx)dx=π/2∫[0--->π] f(sinx)dx
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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