在凸四边形ABCD中,角ABC=30度,角ADC=60度,AD=DC,证：BC的平方+AB的平方=BD的平方

题目

在凸四边形ABCD中,角ABC=30度,角ADC=60度,AD=DC,证：BC的平方+AB的平方=BD的平方

答案

以BD为边长作正△BDE,使点A、
点E分别在BD的两侧,连结EC、AC
∵AD＝CD,∠ADC＝60°
∴△ACD是正三角形
∴∠ADB＝60°－∠BDC＝∠CDE
∴△ABD≌△CED
∴AB＝CE,∠BAD＝∠ECD
∴∠BCE
＝360°－(∠BCD＋∠ECD)
＝360°－(360°－∠ABD－∠ADC)
＝∠ABD＋∠ADC＝90°
∴BE^2＝BC^2＋CE^2
∴BD^2＝BC^2＋AB^2