设y是由方程x^y^2+y^2*lnx=4所确定的x的函数 ,求dy/dx

题目

设y是由方程x^y^2+y^2*lnx=4所确定的x的函数 ,求dy/dx

答案

x^y^2+y^2*lnx=4(*)
z=x^y^2
两边取对数
lnz=y^2lnx
分别对x求导
z'/z=2yy'lnx+y^2/x
z'=(2ylnx*y'+y^2/x)(x^y^2)
对(*)两边分别对x求导:
(2ylnx*y'+y^2/x)(x^y^2)+2yy'lnx+y^2/x=0
[(x^y^2)(2ylnx)+2ylnx]y'=-(y^2/x+y^2*x^y^2/x)
所以
dy/dx
=-(y^2/x+y^2*x^y^2/x)/[(x^y^2)(2ylnx)+2ylnx]
=-y^2(1+x^y^2)/[x(x^y^2+1)2ylnx]
=-y^2/[2xylnx]
=-y/[2xlnx]