已知x∈(0,+∞),f(xy)=f(x)·f(y),当x＞1时,f(x)＞1,证明f(x)＞0

题目

已知x∈(0,+∞),f(xy)=f(x)·f(y),当x＞1时,f(x)＞1,证明f(x)＞0

答案

取x∈(0,1),那么1/x∈(1,+∞)
又f(1/x)=f(1)f(1/x),那么f(1)=1
而f(1)=f(x)f(1/x)
则f(x)=1/f(1/x)∈(0,1)
综上可得x∈(0,+∞)时,f(x)>0