等分三角形

题目

等分三角形
D是三角形ABC的边BC上的一点,过D点画一条线段,正好将三角形的面积二等分,请说明线段的画法、理由.

答案

首先,如果d是bc的中点,那么ad即为所求.
不妨设bd > cd,在bd上截取bg＝cd,过g作ad的平行线并与ab交于e,那么ae的中点就是所要找的那个点.
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
如果d不是中点,那么ad将原三角形分成两个大小不等的三角形.
不妨设bd>cd,那么面积 abd > acd,
记abd的面积为 s1,acd 的面积为 s2
只要在ab上找到一点e,使得 bde 和 acd 的面积相等,
那么 ae 的中点f 就将 ade 分成相等的两部分
所以df 就是所求的线段.
所以问题就归结为找到和 acd 面积相等的三角形 bde :
在bd上截取bg = cd,
那么 三角形 abg 与 acd 的面积相等,也就是 agd = s1-s2
过g 作 ad 的平行线,并且与ab 交于 e 点
那么 agd 与 aed 的面积相等,也就是 aed=s1-s2
所以bde = s2 = adc