已知函数f(x)=-1/2+1/(2的x次方+1),证明:对于任意的非零实数x恒有x f(x)

题目

已知函数f(x)=-1/2+1/(2的x次方+1),证明:对于任意的非零实数x恒有x f(x)<0成立.
为什么0<2^x<1,所以,f(x)>0
1<2^x,所以,f(x)<0

答案

当x<0时,0<2^x<1,所以,1<2^x+1<2
即1/2<1/（2^x+1)<1
0<-1/2+1/（2^x+1)<1/2
所以：f(x)>0
故 x f(x)<0
当x>0时,2^x>2^0=1,
所以,2^x+1>2
即1/(2^x+1)<1/2
所以：-1/2+1/（2^x+1）<1/2-1/2=0
故f(x)<0
即 x f(x)<0
综上所述,对于任意的非零实数x恒有x f(x)<0成立