若A、B是两个n阶矩阵,试证明AB-BA的对角线上的元素之和比为零

题目

若A、B是两个n阶矩阵,试证明AB-BA的对角线上的元素之和比为零

答案

对角线上的元素之和比为零
是不是多了个"比"字
这个分别写出 AB,BA的主对角线元素之和就行了
tr(AB) 这是AB主对角线元素之和的符号,称为 迹 (Trace)
= ∑(i=1,2,...,n) ∑(k=1,2,...,n) aikbki (1)
同样有
tr(BA)
= ∑(i=1,2,...,n) ∑(k=1,2,...,n) bikaki
和号交换
= ∑(k=1,2,...,n) ∑(i=1,2,...,n) akibik
脚标的记法换符号(i,k 转换一下)
= ∑(i=1,2,...,n) ∑(k=1,2,...,n) aikbki (2)
比较(1),(2)式,
所以有
tr(AB-BA)
= tr(AB) - tr(BA) 这是迹的性质
= 0.