三角形ABC中角A的对边长等于2,向量m=（cos（A／2）＋sin（A／2）,2）向量n=(cos(A/2)-sin(A/2),sin(A/2

题目

三角形ABC中角A的对边长等于2,向量m=（cos（A／2）＋sin（A／2）,2）向量n=(cos(A/2)-sin(A/2),sin(A/2

答案

（1）求向量mn取得最大值时的角A
（2）在（1）的条件下,求△ABC面积的最大值
(1)m→• n→= 2sinA/2+cosA=-2 sin^2A/2+2sinA/2+1=-2 (sinA/2-1/2)^2+3/2．
因为 A/2∈(0,π/2),所以当且仅当 sinA/2= 1/2,即A= π/3时,m→• n→取得最大值 3/2．
故 m→• n→取得最大值时的角A= π/3；
（2）设角、B、C所对的边长分别为a、b、c由余弦定理,得b2+c2-a2=2bccosA
即bc+4=b2+c2≥2bc,所以bc≤4,当且仅当b=c=2时取等号．
又S△ABC= 1/2bcsinA= 根号3/4bc≤根号 3．当且仅当a=b=c=2时,△ABC的面积最大为根号 3．