已知f(x)是定义在R上的偶函数,且x≤0时,f(x)=log4(-x+1)

题目

已知f(x)是定义在R上的偶函数,且x≤0时,f(x)=log4(-x+1)
若不等式f（2^t●a）≤t,对于t∈[1,∞)恒成立,求实数a 的取值范围

答案

因f(x)是偶函数,且当x≤0,f(x)=log4(－x＋1),则f(x)在R上是：f(x)=log4(|x|＋1),从而,不等式f[(2^t)●a]≤t就是log4(|(2^t)●a|＋1)≤t
化简就是：(2^t)a＋1≤4^t
(2^t)a＋1≤[2^t]²
设m=2^t,因t≥1,则m≥2,
即：不等式ma＋1≤m²对一切m≥2恒成立
a≤m－(1/m)
考虑到m－(1/m)在m≥2时是递增的,则要使得a≤m－(1/m)对一切m≥2恒成立,则：
a≤[m－(1/m)]的最小值,得：
a≤3/2