已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G． （1）求证：△DFB≌△DAC； （2）求

题目

已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G．

（1）求证：△DFB≌△DAC；
（2）求证：CE=

1

2

BF．

答案

（1）证明：∵CD⊥AB，∠ABC=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形．
∴BD=CD．
∵∠DBF=90°-∠BFD，∠DCA=90°-∠EFC，且∠BFD=∠EFC，
∴∠DBF=∠DCA．
在Rt△DFB和Rt△DAC中，

∠BDF＝∠CDA ∠A＝∠DFB BD＝DC

，
∴Rt△DFB≌Rt△DAC（AAS）．
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE．
在Rt△BEA和Rt△BEC中，

∠AEB＝∠CEB BE＝BE ∠ABE＝∠CBE

，
∴Rt△BEA≌Rt△BEC（ASA）．
∴CE＝AE＝

1

2

AC．
又由（1），知BF=AC，
∴CE＝

1

2

AC＝

1

2

BF．

（1）根据三角形的内角和定理求出∠A=∠DFB，推出BD=DC，根据AAS证出△BDF≌△CDA即可；
（2）推出∠AEB=∠CEB，∠ABE=∠CBE，根据ASA证出△AEB≌△CEB，推出AE=CE即可．

本题考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

考点点评：本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出△BDF≌△CDA和△AEB≌△CEB，题目综合性比较强．