设正数数列{an}为一等比数列，且a2=4，a4=16．求：limn→∞lgan+1+lgan+2+…+lga2nn．

题目

设正数数列{a_n}为一等比数列，且a₂=4，a₄=16．求：

lim

n→∞

答案

设数列{a_n}的公比为q，显然q≠1，

a4

a2

＝q2＝4，由于a_n＞0，n∈N，
∴q=2，a1＝

a2

q

＝2，∴a_n=a₁q^n-1=2ⁿ，
因此

lgan+1+lgan+2+…+lga2n

n

=

lg2n+1+lg2n+2+…+lg22n

n2

=

[(n+1)+(n+2)+…+2n]

n2

lg2
=

3n2+n

2n2

•lg2，
原式=

lim

n→∞

(

3n2+n

2n2

•lg2) ＝lg2•

lim

n→∞

3n2+n

2n2

=

3

2

lg2．