设正数数列{an}为一等比数列,且a2=4,a4=16.求:limn→∞lgan+1+lgan+2+…+lga2nn.
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设正数数列{an}为一等比数列,且a2=4,a4=16.求:limn→∞lgan+1+lgan+2+…+lga2nn.
题目
设正数数列{a
n
}为一等比数列,且a
2
=4,a
4
=16.求:
lim
n→∞
答案
设数列{a
n
}的公比为q,显然q≠1,
a
4
a
2
=
q
2
=4
,由于a
n
>0,n∈N,
∴q=2,
a
1
=
a
2
q
=2
,∴a
n
=a
1
q
n-1
=2
n
,
因此
lg
a
n+1
+lg
a
n+2
+…+lg
a
2n
n
=
lg
2
n+1
+lg
2
n+2
+…+lg
2
2n
n
2
=
[(n+1)+(n+2)+…+2n]
n
2
lg2
=
3
n
2
+n
2
n
2
•lg2
,
原式=
lim
n→∞
(
3
n
2
+n
2
n
2
•lg2) =lg2•
lim
n→∞
3
n
2
+n
2
n
2
=
3
2
lg2
.
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