在等比数列an中公比为q,a1+a2+...+an²=(2的n次方)-1则a1²+a2²+.+an²=

题目

在等比数列an中公比为q,a1+a2+...+an²=(2的n次方)-1则a1²+a2²+.+an²=

答案

a1+a2+...+an=2^n-1
a1+a2+...+a(n-1)=2^(n-1)-1
两式相减得
an=2^n-2^(n-1)
an=2^(n-1)
an²=[2^(n-1)]²
an²=2^(2n-2)
a1²=1
所以数列{an²}是以1为首项,4为公比的等比数列,
a1²+a2²+.+an²
=a1²(1-q^n)/(1-q)
=(1-q^n)/(1-q)
=(1-4^n)/(1-4)
=(4^n-1)/3